1. Nombres Complexes (C) i² = -1

Formes d'un nombre complexe

Algébrique
z = a + ib
a : réel
b : imaginaire
Exponentielle
z = ρeiθ
ρ = module
θ = argument

Module et Argument

Module : |z| = √(a² + b²)

Argument (θ) :

cos(θ) = a / |z|

sin(θ) = b / |z|

Opérations & Équations

  • Conjugué : Si z = a + ib, alors z̄ = a - ib.
  • Propriété : z × z̄ = a² + b² = |z|².
  • Produit (exp) : On additionne les angles.
    eiθ × eiθ' = ei(θ+θ')
  • Équation z² = a :
    • Si a > 0 : solutions √a et -√a
    • Si a < 0 : solutions i√|a| et -i√|a|
2. Fonction Exponentielle (ex)
1 e^x

Propriétés Fondamentales

Définie sur R. Toujours strictement positive (ex > 0).

e0 = 1 et e1 = e ≈ 2,718

ea+b = ea × eb

e-a = 1 / ea

Limites

  • En -∞ : lim ex = 0
  • En +∞ : lim ex = +∞

Dérivée

  • (ex)' = ex
  • (eu)' = u' × eu
Variations : La fonction x → ex est strictement croissante sur R.
3. Fonction Logarithme (ln x)
1 ln(x)

Définition & Propriétés

Définie sur ]0; +∞[ seulement !

ln(1) = 0 et ln(e) = 1

Relation : y = ln(x) ⇔ ey = x

Propriété clé : ln(a × b) = ln(a) + ln(b)

ln(an) = n × ln(a)

Limites

  • En 0 : lim ln(x) = -∞
  • En +∞ : lim ln(x) = +∞

Signe

  • Négatif sur ]0; 1[
  • Positif sur ]1; +∞[
4. Primitives & Intégrales

Primitives Usuelles

Fonction f(x) Primitive F(x)
a (constante) ax
xn xn+1 / (n+1)
1/x (x>0) ln(x)
ex ex
u' eu eu
u'/u ln(u)

Calcul d'Intégrale

I = ∫ab f(x)dx = [F(x)]ab = F(b) - F(a)

Interprétation géométrique : Si f est positive, l'intégrale correspond à l'aire sous la courbe (en unités d'aire) entre les bornes a et b.

5. Taux d'Évolution

Coefficient Multiplicateur (CM)

Pour une évolution de t% :

CM = 1 + t/100
  • Hausse de 20% → CM = 1,20
  • Baisse de 30% → CM = 0,70

Évolutions Successives

Pour n évolutions, on multiplie les CM :

CMglobal = CM1 × CM2 × ...

Taux Moyen

CM moyen par étape pour n étapes :

CMmoyen = (CMglobal)1/n

Exemple: CM global sur 12 mois = 0.7.
CMmensuel = 0,71/12.

6. Bonus & Astuces

Croissance Comparée

En +∞, l'exponentielle "gagne" toujours sur x, et x gagne sur ln x.

ex >> xn >> ln(x)
Ex: lim (ex / x) = +∞

Formule de la Tangente

Tangente au point d'abscisse a :

y = f'(a)(x-a) + f(a)

Équation ex = a

  • Si a ≤ 0 : Pas de solution.
  • Si a > 0 : Une solution unique x = ln(a).