Le guide ultime pour ton Bac Blanc
Cours approfondi, explications pas à pas et exercices corrigés avec méthodes détaillées pour viser l'excellence.
Nombres Complexes $\mathbb{C}$
Les 2 formes à maîtriser
Un nombre complexe permet de résoudre des équations impossibles dans les réels (comme $x^2 = -1$). L'unité imaginaire est $i$ telle que $i^2 = -1$.
$a = Re(z)$ (Partie réelle)
$b = Im(z)$ (Partie imaginaire)
$\rho = |z|$ (Module, la longueur)
$\theta = \arg(z)$ (Argument, l'angle)
Passer d'une forme à l'autre
1. Calcul du Module (Pythagore)
$$|z| = \rho = \sqrt{a^2 + b^2}$$2. Calcul de l'Argument (Trigonométrie)
$$\cos(\theta) = \frac{a}{|z|} \quad \text{et} \quad \sin(\theta) = \frac{b}{|z|}$$Astuce : Cherche l'angle $\theta$ sur le cercle trigonométrique qui valide simultanément le cosinus ET le sinus.
Zone d'entraînement : Complexes
Exercice 1 : Écrire le nombre $z = -1 + i\sqrt{3}$ sous forme exponentielle.
Étape 1 : Le module. Ici $a = -1$ et $b = \sqrt{3}$.
$$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$
Étape 2 : L'argument. On cherche $\theta$ tel que :
$$\cos(\theta) = \frac{a}{|z|} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$$
$$\sin(\theta) = \frac{b}{|z|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Sur le cercle trigonométrique, le cosinus est négatif et le sinus positif : on est dans le cadran en haut à gauche. L'angle correspondant est $\frac{2\pi}{3}$.
Conclusion : $z = 2e^{i\frac{2\pi}{3}}$
Exercice 2 : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 + 16 = 0$.
On isole $z^2$ :
$$z^2 = -16$$
Dans l'ensemble des réels, un carré ne peut pas être négatif. Mais dans les complexes, on sait que $i^2 = -1$. On peut donc écrire :
$$z^2 = 16 \times (-1) = 16 \times i^2 = (4i)^2$$
Les solutions sont donc la racine carrée "positive" et "négative" de ce nombre imaginaire :
$$z_1 = 4i \quad \text{et} \quad z_2 = -4i$$
Rappel du cours : L'équation $z^2 = a$ avec $a < 0$ admet pour solutions $i\sqrt{|a|}$ et $-i\sqrt{|a|}$.
Fonctions Composées & Dérivation
Le concept des "poupées russes"
Une fonction composée (notée $v \circ u$), c'est appliquer une fonction, puis en appliquer une autre sur le résultat de la première.
$$v \circ u(x) = v(u(x))$$
Exemple concret :
Soit $f(x) = \cos(5x + \pi)$. C'est une composée !
- La fonction "intérieure" (celle qu'on calcule en premier) est $u(x) = 5x + \pi$.
- La fonction "extérieure" (l'enveloppe) est $v(X) = \cos(X)$.
- On a bien $f(x) = v(u(x))$.
La règle de la chaîne (Dérivation)
Pour dériver une fonction composée, il faut TOUJOURS multiplier par la dérivée de la fonction "à l'intérieur" (le $u'(x)$).
$$(v \circ u)'(x) = u'(x) \times v'(u(x))$$
Les 4 formules à connaître ABSOLUMENT :
| Fonction $(e^u)$ | $(e^u)' = u' \cdot e^u$ |
| Fonction $(\ln u)$ si u>0 | $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ |
| Puissance $(u^n)$ | $(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}$ |
| Fonction $(\sin u)$ | $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$ |
Zone d'entraînement : Dérivation des composées
Exercice 3 : Calculer la dérivée de $f(x) = e^{5x - 3}$ sur $\mathbb{R}$.
On reconnaît la forme $e^{u(x)}$.
1. On identifie la fonction intérieure : $u(x) = 5x - 3$.
2. On dérive cette fonction : $u'(x) = 5$.
3. On applique la formule de cours : $f'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)}$.
Résultat : $f'(x) = 5 \cdot e^{5x - 3}$
Exercice 4 : Calculer la dérivée de $h(x) = (x^2 + 1)^4$ sur $\mathbb{R}$.
On reconnaît la forme $(u(x))^n$ avec $n = 4$.
1. Fonction intérieure : $u(x) = x^2 + 1$.
2. Dérivée : $u'(x) = 2x$.
3. Formule : $h'(x) = n \cdot u'(x) \cdot (u(x))^{n-1}$.
4. Calcul : $h'(x) = 4 \cdot (2x) \cdot (x^2 + 1)^{4-1}$.
Résultat : $h'(x) = 8x(x^2 + 1)^3$
Primitives des composées & Intégrales
Reconnaître la bonne forme
Trouver une primitive, c'est l'inverse de la dérivation. La clé est de repérer la présence de $u'(x)$ multiplié par la fonction principale. Si $u'$ est absent, tu ne peux pas utiliser ces formules directement !
| Fonction $f(x)$ | Primitive $F(x)$ |
|---|---|
| $u'(x) \cdot e^{u(x)}$ | $e^{u(x)}$ |
| $\frac{u'(x)}{u(x)}$ | $\ln(u(x))$ |
| $u'(x) \cdot \cos(u(x))$ | $\sin(u(x))$ |
| $u'(x) \cdot u(x)^n$ | $\frac{u(x)^{n+1}}{n+1}$ |
Astuce de calcul & Intégrales
Souvent, il te manque un coefficient (un chiffre) pour avoir exactement $u'$. L'astuce consiste à multiplier et diviser par ce chiffre.
Calcul de l'intégrale (Aire sous la courbe) :
$$\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$$
F(x) étant une primitive de f(x).
Zone d'entraînement : Primitives
Exercice 5 : Déterminer une primitive de $f(x) = \frac{4}{4x+2}$ sur $]-0,5 ; +\infty[$.
On cherche à reconnaître une formule du tableau. Ici, on a une fraction.
Posons le dénominateur $u(x) = 4x + 2$.
Sa dérivée est $u'(x) = 4$.
Génial ! Le numérateur de $f(x)$ est exactement $u'(x)$. La fonction est donc de la forme $f = \frac{u'}{u}$.
D'après le cours, la primitive est $F = \ln(u)$ (car $u(x)>0$ sur l'intervalle).
Résultat : $F(x) = \ln(4x + 2)$
Exercice 6 : Calculer l'intégrale $I = \int_0^{\pi/2} \sin(2x+\pi) dx$.
Étape 1 : Trouver la primitive.
La fonction est $f(x) = \sin(2x+\pi)$. Posons $u(x) = 2x+\pi \Rightarrow u'(x)=2$.
Il nous manque le 2 pour avoir la forme $u'\sin(u)$. On écrit donc :
$f(x) = \frac{1}{2} \times [2 \sin(2x+\pi)] = \frac{1}{2} \times [u'(x) \sin(u(x))]$.
La primitive de $u'\sin(u)$ est $-\cos(u)$. Donc la primitive de $f$ est :
$F(x) = \frac{1}{2} \times [-\cos(2x+\pi)] = -\frac{1}{2}\cos(2x+\pi)$.
Étape 2 : Calcul de l'intégrale.
$$I = \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x+\pi) \right]_0^{\pi/2} = F(\frac{\pi}{2}) - F(0)$$
$$I = \left( -\frac{1}{2}\cos(2\frac{\pi}{2}+\pi) \right) - \left( -\frac{1}{2}\cos(2(0)+\pi) \right)$$
$$I = -\frac{1}{2}\cos(2\pi) + \frac{1}{2}\cos(\pi)$$
On sait que $\cos(2\pi) = 1$ et $\cos(\pi) = -1$.
$$I = -\frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}(-1) = -0,5 - 0,5 = -1$$
Résultat : $I = -1$
Équations Différentielles
C'est quoi une équa. diff. ?
Contrairement à une équation classique où l'inconnue est un nombre $x$, dans une équation différentielle, l'inconnue est une FONCTION $y$ (ou $f$). L'équation relie cette fonction à sa propre dérivée $y'$ (ou $y''$).
Cas n°1 : Forme $y' + ay = 0$
Les solutions sont l'ensemble des fonctions :
$$f(x) = C \cdot e^{-ax}$$
avec $C$ une constante réelle ($\mathbb{R}$).
Cas n°2 : Forme $y' + ay = b$
Les solutions sont l'ensemble des fonctions :
$$f(x) = C \cdot e^{-ax} + \frac{b}{a}$$
Le terme $b/a$ est la solution particulière constante.
Trouver l'unique solution
Les formules ci-contre donnent une infinité de solutions (à cause du $C$). Pour trouver LA solution d'un problème (unique), l'énoncé te donnera toujours une condition initiale (ex: $f(0) = 5$).
Méthode pas à pas :
- Identifier $a$ et $b$ : Attention à bien mettre l'équation sous la forme $y' + ay = b$. S'il y a un coefficient devant $y'$, divise tout ! (ex: $3y' = 6y+12 \Rightarrow 3y' - 6y = 12 \Rightarrow y' - 2y = 4$. Donc $a=-2, b=4$).
- Écrire la forme générale : Utilise la formule de cours en remplaçant $a$ et $b$. Garde le $C$.
- Utiliser la condition initiale : Remplace $x$ par la valeur donnée et résous la petite équation pour trouver la valeur exacte de $C$.
- Conclure : Réécris la fonction $f(x)$ avec le $C$ que tu viens de calculer.
Zone d'entraînement : Équations Différentielles
Exercice 7 : Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E) : y' = 10y$ qui vérifie $f(0) = 3$.
1. On réécrit l'équation sous la forme standard : $y' - 10y = 0$.
2. C'est une équation du type $y' + ay = 0$ avec $a = -10$.
3. La forme générale des solutions est $f(x) = C e^{-ax} = C e^{-(-10)x} = C e^{10x}$.
4. On utilise la condition initiale $f(0) = 3$ :
$$C e^{10 \times 0} = 3 \Rightarrow C e^0 = 3 \Rightarrow C \times 1 = 3 \Rightarrow C = 3$$
Conclusion : L'unique solution est $f(x) = 3 e^{10x}$
Exercice 8 : Déterminer la solution de l'équation $(E) : y' + 5y = 12$ vérifiant $f(0) = -3$.
1. L'équation est déjà sous la bonne forme $y' + ay = b$ avec $a = 5$ et $b = 12$.
2. Calculons la constante de la solution particulière : $\frac{b}{a} = \frac{12}{5} = 2,4$.
3. La forme générale des solutions est : $f(x) = C e^{-5x} + 2,4$.
4. On cherche $C$ tel que $f(0) = -3$ :
$$C e^{-5 \times 0} + 2,4 = -3$$
$$C \times 1 + 2,4 = -3$$
$$C = -3 - 2,4 = -5,4$$
Conclusion : La fonction cherchée est $f(x) = -5,4 e^{-5x} + 2,4$
Exercice 9 : Montrer que la fonction $f(x) = 2e^{3x} + 4$ est solution de l'équation $y' - 3y = -12$.
Pour vérifier qu'une fonction est solution, il suffit de la dériver, de la réinjecter dans l'équation et de voir si l'égalité est vraie.
1. On dérive $f(x)$ : $f'(x) = 2 \times 3e^{3x} + 0 = 6e^{3x}$.
2. On calcule l'expression de gauche : $f'(x) - 3f(x)$.
$$= 6e^{3x} - 3(2e^{3x} + 4)$$
$$= 6e^{3x} - 6e^{3x} - 12$$
$$= -12$$
3. On compare avec la partie droite de l'équation : On trouve bien $-12$. L'égalité est vérifiée pour tout $x$.
Conclusion : $f$ est bien une solution de l'équation différentielle.